Question

在如圖1所示的四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=

π

2

，∠C=

π

6

，AB=BD=2．現(xiàn)將△ABD沿BD翻折，如圖2所示．
（Ⅰ）若二面角A-BD-C為直二面角，求證：AB⊥DC；
（Ⅱ）設(shè)E為線段BC上的點(diǎn)，當(dāng)△ABE為等邊三角形時(shí)，求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用二面角A-BD-C為直二面角，證明AB⊥平面BCD，即可證明AB⊥DC；
（Ⅱ）取BD中點(diǎn)G，連接EG，證明∠ABF為二面角A-BD-C的平面角，再利用余弦定理求求二面角A-BD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵二面角A-BD-C為直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD
∵AB⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AB⊥平面BCD
∵DC?平面BCD，∴AB⊥DC；
（Ⅱ）∵CB=2BD=2AB，△ABE是等邊三角形，
∴E是BC的中點(diǎn)，
取BD中點(diǎn)G，連接EG，
作BF∥GE，且BF=GE，連接EF，AF，
∴四邊形EFBG為平行四邊形，
∴BF⊥BD，
∵AB⊥BD，
∴∠ABF為二面角A-BD-C的平面角，且BD⊥平面ABF，
∴BD⊥AF，
∵EF∥BD，
∴EF⊥AF，
∵AB=2，
∴Rt△AEF中，EF=BG=1，AE=2，
∴AF=

3

，
△ABF中，BF=GE=

3

，
∴cos∠ABF=

AB2+BF2-AF2

2AF•BF

=

3

3

，
∴二面角A-BD-C的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確作出空間角是關(guān)鍵，屬于中檔題．