Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}，其中，a₁=

1

2

，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立？若存在，求出m的最小值；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=

1 nan ，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件用累乘法能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）b_n=2ⁿ．假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立，由此能導(dǎo)出m的最小值．
（3）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Tn=(

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

nan

)+(b2+b4+…+bn-1)，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

(n-1)an-1

]+(b2+b4+…+bn)，由此能推導(dǎo)出當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="rz9kilh" class="MathJye">Sn=n2an(n∈N*)．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=(n-1)2an-1，
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1
所以（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，即

an

an-1

=

n-1

n+1

． …2分
又a1=

1

2

，
所以an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

…

a3

a2

•

a2

a1

•a1=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

•

1

2

=

1

n(n+1)

．…4分
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
因?yàn)閎₁=2，b_n+1=2b_n，所以{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故bn=2n．…6分
（2）由（1）知bn=2n，則1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=2-

1

2n

．
假設(shè)存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立，即2-

1

2n

＜

m-8

4

恒成立，由

m-8

4

≥2，解得m≥16．…9分
所以存在自然數(shù)m，使得對(duì)于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立，
此時(shí)，m的最小值為16．…11分
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

nan

)+(b2+b4+…+bn-1)
=[2+4+…+（n+1）]+（2²+2⁴+…+2^n-1）=

2+n+1

2

•

n+1

2

+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)；…13分
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

(n-1)an-1

]+(b2+b4+…+bn)=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

2+n

2

•

n

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．…15分
因此Tn=

n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，n為奇數(shù) n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，n為偶數(shù)

． …16分．

點(diǎn)評(píng)：本題是考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用題，難度較大，在解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)作答．