Question

定義f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²．若對(duì)任意的x∈[a，a+2]均有f（x+a）≥2f（x），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，解不等式即可．

解答： 解：∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²，
∴此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
若對(duì)任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）=2x²=（

2

x）²=f（

2

x），
∴f（x+a）≥f（

2

x）恒成立，
則x+a≥

2

x恒成立，
即a≥-x+

2

x=(

2

-1)x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（(

2

-1)x）_max=(

2

-1)（a+2），
即a≥(

2

-1)（a+2），
解得a≥

2

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為[

2

，+∞)．
故答案為：[

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．