Question

已知集合A={y|y=2^|x|-1，x∈R}，集合B={y|y=

-x2+2x+3

，x∈R}，則集合{x|x∈A且x∉B}=

 

．

Answer 1

分析：由|x|≥0和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合A={y|y≥0}，再由-x²+2x+3≥0求出-1≤x≤3，用配方法化簡(jiǎn)函數(shù)y=-x²+2x+3，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，進(jìn)而求出函數(shù)y=

-x2+2x+3

的值域，即是集合B，最后由集合運(yùn)算求出集合{x|x∈A且x∉B}．

解答：解：由|x|≥0得，2^|x|≥1，則2^|x|-1≥0，即A={y|y≥0}，
令y=-x²+2x+3，由-x²+2x+3≥0解得，-1≤x≤3
又∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值是4，當(dāng)x=-1或3時(shí)y有最小值是0，
∴函數(shù)y=

-x2+2x+3

的值域是[0，2]，則B={y|0≤y≤2}，
∴集合{x|x∈A且x∉B}={x|x＞2}=（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是集合的混合運(yùn)算，利用了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)應(yīng)的值域，即是集合A和B，注意應(yīng)先求出函數(shù)的定義域．