Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意的， 都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）將代入表達式，求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的正負，從而得到單調(diào)區(qū)間；（2）先求出在上的最大值為，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，變量分離得到對任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。

解析：

（Ⅰ）若，則 ， ，

由得；由得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ），所以當時， ， 單調(diào)遞減；

當時， ， 單調(diào)遞增，

又， ，所以在上的最大值為．

由題意，若對任意的，都有成立，

即對任意的，都有恒成立，即恒成立，

即對任意的恒成立，所以．

設(shè)， ，則， ，

所以在上單調(diào)遞減，則，

所以在上單調(diào)遞減，又，

所以當時， ， 單調(diào)遞增；

當時， ， 單調(diào)遞減，

∴在上的最大值為，∴，

所以的取值范圍是．

點睛:這個題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，在研究函數(shù)最值的應(yīng)用；對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)。