Question

設(shè)各項均為正實數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足（）．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項公式為（），若，，（）成等差數(shù)列，求和的值；
（Ⅲ）證明：存在無窮多個三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其三邊長為數(shù)列中的三項，，．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），，．
（Ⅲ）作如下構(gòu)造：，，，其中，它們依次為數(shù)列中第項，第項，第，顯然它們成等比數(shù)列，且，所以它們能組成三角形．
由的任意性，知這樣的三角形有無窮多個．
用反證法證明其中任意兩個和不相似

試題分析：（Ⅰ）由題意，①，當時，有②，
②-①，得，各項為正，，
從而，故成公差2的等差數(shù)列．又時，，解得．故．                                4分
（Ⅱ），要使，，成等差數(shù)列，須，
即，整理得，因為，為正整數(shù)，只能取2，3，5．故，，．                  10分
（Ⅲ）作如下構(gòu)造：，，，其中，它們依次為數(shù)列中第項，第項，第，顯然它們成等比數(shù)列，且，所以它們能組成三角形．
由的任意性，知這樣的三角形有無窮多個．
下面用反證法證明其中任意兩個和不相似：若∽，且，則，整理得，所以，這與矛盾，因此，任意兩個三角形不相似．故原命題正確．           16分
點評：基礎(chǔ)題，首先利用的關(guān)系，確定得到的通項公式，進一步研究中項的關(guān)系。為證明，，能構(gòu)成三角形，在明確表達式的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了反證法。