Question

（2012•杭州一模）把函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)記為f′（x），f′（x）的導(dǎo)數(shù)記為f^″（x），f^″（x）的導(dǎo)數(shù)記為f^′″（x），f^′″（x）的導(dǎo)數(shù)記為f^（4）（x），…，一般地，f^（n）（x）（n∈N^*，n≥4）的導(dǎo)數(shù)記為f^（n+1）（x）．令f（x）=ln（1+x），易得f′(x)=

1

1+x

，f″(x)=-

1

(1+x)2

，f″′(x)=

2

(1+x)3

，f(4)(x)=-

6

(1+x)4

，f(5)(x)=

24

(1+x)5

，由此歸納：當(dāng)n≥4時(shí)，f^（n）（x）=

(-1)n-1(n-1)!

(1+x)n

．

Answer 1

分析：通過(guò)計(jì)算前幾項(xiàng)，進(jìn)行歸納分析，當(dāng)計(jì)算到f′′′′（x）時(shí)發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)的符號(hào)成正負(fù)相間，分母的次數(shù)與導(dǎo)數(shù)次數(shù)相等，分子是導(dǎo)數(shù)次數(shù)少1的階乘，從而得出結(jié)論．

解答：解：f′(x)=

1

1+x

，f″(x)=-

1

(1+x)2

，f″′(x)=

2

(1+x)3

，f(4)(x)=-

6

(1+x)4

，f(5)(x)=

24

(1+x)5

，
各項(xiàng)的符號(hào)成正負(fù)相間，分母的次數(shù)與導(dǎo)數(shù)次數(shù)相等，分子是導(dǎo)數(shù)次數(shù)少1的階乘，
則當(dāng)n≥4時(shí)，f^（n）（x）=

(-1)n-1(n-1)!

(1+x)n

，
故答案為：

(-1)n-1(n-1)!

(1+x)n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了計(jì)算型歸納推理，通過(guò)計(jì)算歸納一般規(guī)律．