Question

已知點M（

6

，

2

）在橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且橢圓的離心率為

6

3

．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底做等腰三角形，頂點為P（-3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由點M（

6

，

2

）在橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且橢圓的離心率為

6

3

．可得

6

a2

+

2

b2

=1，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²聯(lián)立解得即可．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點N（m，n），直線AB的方程為：y=x+t．與橢圓方程聯(lián)立可得4x²+6tx+3t²-12=0，利用根與系數(shù)的關系、中點坐標公式可得m=-

3t

4

，n=

t

4

．利用k_PN=-1，解得t．再利用點到直線的距離公式可得點P到直線AB的距離d．弦長公式|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

，S_△APB=

1

2

d•|AB|即可得出．

解答： 解：（1）∵點M（

6

，

2

）在橢圓G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，且橢圓的離心率為

6

3

．
∴

6

a2

+

2

b2

=1，

c

a

=

6

3

，又a²=b²+c²，
解得a²=12，b²=4．
∴橢圓G的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點N（m，n），直線AB的方程為：y=x+t．
聯(lián)立

y=x+t x2+3y2=12

，化為4x²+6tx+3t²-12=0，
∴x₁+x₂=-

3t

2

=2m，x₁x₂=

3t2-12

4

．
解得m=-

3t

4

，∴n=

t

4

．
∴k_PN=-1=

t 4 -2

- 3t 4 +3

，解得t=2．
∴直線AB的方程為：y=x+2．
∴點P到直線AB的距離d=

|-3-2+2|

2

=

3

2

．
|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(-3)2-4×0]

=3

2

．
∴S_△APB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

3

2

×3

2

=

9

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、點到直線的距離公式、弦長公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．