Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+ +alnx．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象為曲線C，曲線C上的不同兩點A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）所在直線的斜率為k，求證：當a≤4時，|k|＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ．

因為f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，

所以 ≥0在[2，3]上恒成立，

即 在[2，3]上恒成立，

設(shè) ，則 ，

所以g（x）在[2，3]上單調(diào)遞減，

故g（x）max=g（2）=﹣7，

所以a≥﹣7；

（Ⅱ）對于任意兩個不相等的正數(shù)x1、x2有

＞

=

= ，

∴ ，

而 ，

∴ =

= ＞ ，

故： ＞ ，即 ＞1，

∴當a≤4時， ．

【解析】（Ⅰ）將函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導數(shù)函數(shù)f'（x）≥0在區(qū)間[2，3]上恒成立，從而求得a的取值范圍；（Ⅱ）先利用基本不等式求得解題過程中的的關(guān)鍵不等式的取值范圍，最后利用斜率公式列出不等式，從而證明當a≤4時，|k|＞1.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：才能正確解答此題．