Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x﹣3x2 ， 設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1= ，an+1=f（an）
（1）求證：對(duì)任意的n∈N* ， 都有0＜an＜ ；
（2）求證： + +…+ ≥4n+1﹣4．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=f（an），函數(shù)f（x）=2x﹣3x2，

∴an+1=2an﹣3 =﹣3 + ≤ ．

若an+1= ，則an= ，可得a1= ，與已知a1= 矛盾，因此等號(hào)不成立．∴an＜ ．

= = =3an（3an﹣2） ，

由an＜ （n∈N*），可得an+1 ，3an﹣2＜0，因此an+1與an同號(hào)，a1= ＞0，∴an＞0，

綜上可得：對(duì)任意的n∈N*，都有0＜an＜

（2）解：∵0＜an＜ ，an+1=2an﹣3 ，∴2 an+1﹣an= =an（1﹣3an）＞0，

∴an+1＞an，∴數(shù)列{an}單調(diào)遞增．

∴n＞1時(shí)， ，

∴ ＞4，

∴ = = ＞ ＞ ＞…＞ =4n+1，

∴ + +…+ ≥3（4+42+…+4n）=3× =4n+1﹣4．

∴ + +…+ ≥4n+1﹣4

【解析】1、由題意可得an+1=2an-3an2=-3(an-)2 +,可得做差an+1(an+1-)整理可得3an（3an﹣2） ( an ) 2 由（nN*) 可得an+1與an同號(hào)因此an>0.
2、由題意0＜an＜ ，an+1=an﹣3 a n2 ，∴an+1﹣an= a n 3 a n 2=an（1﹣3an）＞0，因此數(shù)列{an}單調(diào)遞增n＞1時(shí)， > a n > ，

∴ ＞4，由遞推公式可得式子 再由等比數(shù)列求和公式可得上式等于4n+1﹣4．即得結(jié)論。

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．