【題目】已知C是以AB為直徑的圓周上一點(diǎn)，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若異面直線PB與AC所成的為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可知.再由以及線面垂直的判斷定理，可知平面，即可證明.

（2）解法1，建立空間直角坐標(biāo)系，令，確定點(diǎn)坐標(biāo)，令，由題意可知，即，再求平面的法向量為與平面的法向量為，求解即可.解法2：過(guò)作的平行線交圓于，連接，，所以直線與所成的角，即為與所成的角，，再過(guò)作交于，過(guò)作交于，連接，由三垂線定理知，所以即為二面角的平面角，求解邊長(zhǎng)即可.

（1）證明：因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以，

又平面，而平面，所以，

又,平面，平面

所以平面，

而平面，所以平面平面；

（2）解法1：建系如圖所示

令，而，則，.

則，令

所以，.

因?yàn)楫惷嬷本�與所成的角為

故，解得.

令平面的一個(gè)法向量為

而

由，，所以

由，，所以，即

而平面的一個(gè)法向量為

所以.

所以二面角的余弦值為

解法2：過(guò)作的平行線交圓于，連接，

所以直線與所成的角，即為與所成的角.

因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以

又平面，而平面，所以.

又,所以平面

而平面，所以，則.

令，且所以，

，

,

過(guò)作交于，過(guò)作交于,連接，由三垂線定理知.

所以即為二面角的平面角.

，

即 .

即為二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)和函數(shù),

（1）若為偶函數(shù),試判斷的奇偶性;

（2）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根,則

①試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有單調(diào)性,并說(shuō)明理由;

②若方程的兩實(shí)根為求使成立的的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分別為，AC，，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC==2．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD相交．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，，記.

（1）求b1，b2的值；

（2）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了解本校文、理科學(xué)生的學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)情況，分別從理科班學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績(jī)得到樣本甲，從文科班學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績(jī)得到樣本乙，根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

甲樣本數(shù)據(jù)直方圖

乙樣本數(shù)據(jù)直方圖

已知乙樣本中數(shù)據(jù)在的有個(gè).

（1）求和乙樣本直方圖中的值；

（2）試估計(jì)該校理科班學(xué)生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均值和文科班學(xué)生本次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中a為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，曲線在其與y軸的交點(diǎn)處的切線記作，曲線在其與x軸的交點(diǎn)處的切線記作，且.

（1）求之間的距離；

（2）對(duì)于函數(shù)和的公共定義域中的任意實(shí)數(shù)，稱的值為函數(shù)和在處的偏差.求證：函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市在爭(zhēng)創(chuàng)文明城市過(guò)程中，為調(diào)查市民對(duì)文明出行機(jī)動(dòng)車禮讓行人的態(tài)度，選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

支持

不支持

合計(jì)

年齡不大于45歲

80

年齡大于45歲

10

合計(jì)

70

100

（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，把表格數(shù)據(jù)填寫完整；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為不同年齡段與是否支持文明出行機(jī)動(dòng)車禮讓行人有關(guān)？

（3）已知在被調(diào)查的年齡小于25歲的支持者有5人，其中2人是教師，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)抽取3人，求至多抽到1位教師的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

觀察散點(diǎn)圖，兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與的相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)（其中）：

（1）用反比例函數(shù)模型求關(guān)于的回歸方程；

（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個(gè)模型哪一個(gè)擬合效果更好（精確到0.01），并用其估計(jì)產(chǎn)量為10千件時(shí)每件產(chǎn)品的非原料成本；

（3）該企業(yè)采取訂單生產(chǎn)模式（根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn)，即產(chǎn)品全部售出）.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù)，若該產(chǎn)品單價(jià)定為100元，則簽訂9千件訂單的概率為0.8，簽訂10千件訂單的概率為0.2；若單價(jià)定為90元，則簽訂10千件訂單的概率為0.3，簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為10元，根據(jù)（2）的結(jié)果，企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn)，產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇100元還是90元，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，，相關(guān)系數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC邊上的高．

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