Question

已知x，y滿足

2x-y≥2 x+y≤2 y≥a(x-1)

，且z=x+y能取到最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、a＜-1
• B、a≥2
• C、-1≤a≤0
• D、-1≤a＜2

Answer 1

分析：作出目標(biāo)函數(shù)z=x+y對應(yīng)的直線l，可得直線l越向下平移z的值越�。�根據(jù)直線y=a（x-1）表示經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）且斜率為a的直線，得到不等式y(tǒng)≥a（x-1）表示的平面區(qū)域在直線y=a（x-1）的上方．因此作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，可得z=x+y在點(diǎn)A（1，0）處取得最小值1，觀察斜率的變化即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：設(shè)直線l：z=x+y，可得的直線l的斜率為-1，
觀察直線l在y軸上的截距變化，可得當(dāng)直線l越向下平移，l在y軸上的截距越小，
相應(yīng)地目標(biāo)函數(shù)z也變�。�
不等式組

2x-y≥2 x+y≤2

表示的平面區(qū)域，在直線2x-y=2的下方，
且在直線x+y=2的下方．
∵直線y=a（x-1）表示經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）且斜率為a的直線，
∴不等式y(tǒng)≥a（x-1）表示的平面區(qū)域，在直線y=a（x-1）的上方．
由此可得：當(dāng)直線y=a（x-1）的斜率大于-1，而小于直線2x-y=2的斜率時(shí)，
不等式組

2x-y≥2 x+y≤2 y≥a(x-1)

表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D的△ABC及其內(nèi)部，
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=x+y在點(diǎn)A（1，0）處取得最小值為1，a的取值范圍是-1＜a＜2；
又∵當(dāng)a=-1時(shí)，題中不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)樾甭实扔?1的兩條平行線間、且在直線2x-y=2的下方的部分，
z=x+y也可在點(diǎn)A（1，0）處取得最小值1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1≤a＜2．
故選：D

點(diǎn)評：本題給出含有參數(shù)的不等式組，在目標(biāo)函數(shù)z=x+y能取到最小值的情況下求參數(shù)的取值范圍．著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．