Question

已知

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），a_n=

a

•

b

．
（1）若n=1，且

a

⊥

b

，求證：|

a

-

b

|=

2

；
（2）若α-β=

π

2

，求數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的角的關(guān)系，sin²α+cos²α=1，得到|

a

|=|

b

|=1，再根據(jù)垂直關(guān)系得到

a

•

b

=0，問(wèn)題得以解決．
（2）根據(jù)三角函數(shù)中的運(yùn)算得a_n=cosn（α-β），再分類(lèi)討論即可．

解答： （1）證明：∵

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），
∴當(dāng)n=1時(shí)，

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0
∴|

a

-

b

|²=|

a

|2+|

b

|2-2

a

•

b

=2，
∴|

a

-

b

|=

2

；
（2）∵

a

=（cosnα，sinnα），

b

=（cosnβ，sinnβ），a_n=

a

•

b

．
∴a_n=

a

•

b

=cosnαcosnβ+sinnαsinnβ=cosn（α-β），
∵α-β=

π

2

，
∴a_n=cosn（α-β）=cos（n•

π

2

）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n=0，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，是4的倍數(shù)時(shí)a_n=1，是2的倍數(shù)不是4的倍數(shù)時(shí)a_n=-1
則數(shù)列{a_n}為0，-1，0，1，0，-1，0，1，…，
故數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)的和為S_2n=

-1，n為奇數(shù) 0，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，向量的垂直，向量的模的計(jì)算，屬于中檔題．