Question

已知集合M=|（x，y）|y=f（x）|，若對任意P₁（x₁，y₁）∈M，均不存在P₂（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M為“好集合”，給出下列五個集合：
①M={（x，y）|y=

1

x

}；
②M={（x，y）|y=lnx}；
③M={（x，y）|y=

1

4

x²+1}；
④M={（x，y）|（x-2）²+y²=1}；
⑤M={（x，y）|x²-2y²=1}．
其中所有“好集合”的序號是

 

．（寫出所有正確答案的序號）

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：新定義

分析：根據“好集合”的定義逐個驗證即可得到答案．

解答： 解：x₁x₂+y₁y₂=0⇒

OP1

⊥

OP2

（O為坐標原點），即OP₁⊥OP₂．若集合M里存在兩個元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M不是“好集合”，否則是．
1任意兩點與原點連線夾角小于90°或大于90°，集合M里不存在兩個元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M是“好集合”；
2如圖，函數y=lnx的圖象上存在兩點A，B，使得OA⊥OB．所以M不是“好集合”
3過原點的切線方程為y=±x，兩條切線的夾角為90°，集合M里存在兩個元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M不是“好集合”；
4切線方程為y=±

3

3

x，夾角為60°，集合M里不存在兩個元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M是“好集合”；
5雙曲線x²-2y²=1的漸近線方程為y=±

2

2

x，兩條漸近線的夾角小于90°，集合M里不存在兩個元素P₁，P₂，使得OP₁⊥OP₂，則集合M是“好集合”，
故答案為：①④⑤．

點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了元素與集合的關系，考查了數形結合的思想，解答的關鍵是對新定義的理解，是中檔題．