已知點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點(diǎn)N（1，0）的直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，并且曲線C存在點(diǎn)Q，使四邊形OAQB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAQB的面積；若不存在，說明理由．
（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
∵點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足：|PM|•|PN|=
4
1+cos∠MPN
，
∴
(x+1)2+y2
•
(x-1)2+y2
=
4
1+
(x+1)(x-1)+y2
(x-1)2+y2
•
(x+1)2+y2
，
整理，得
x2
3
+
y2
2
=1，
∴P的軌跡C的方程為
x2
3
+
y2
2
=1．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），
由題意知l的斜率一定不為0，∴設(shè)l：x=my+1，
代入橢圓方程整理得（2m2+3）y2+4my-4=0，
△=16m2+16（2m2+3）＞0．
y1+y2=-
4m
2m2+3
，y1y2=-
4
2m2+3
…①，
假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，
其充要條件為
OQ
=
OA
+
OB
，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1+x2，y1+y2）．
由點(diǎn)Q在橢圓上，即
(x1+x2)2
3
+
(y1+y2)2
2
=1．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．
又A、B在橢圓上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6．
∴2x1x2+3y1y2=3…②
將x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1代入，
由①②解得m=±
2
2
．
當(dāng)m=
2
2
時(shí)，解得y1=-
2
，y2=
2
2
．
從而x1=0，x2=
3
2
∴A(0，-
2
)，B(
3
2
，
2
2
)，
∴
OA
=(0，-
2
)，
OB
=(
3
2
，
2
2
)，
∴cos∠AOB=
OA
•
OB
|
OA
||
OB
|
=-
2
11
，sin∠AOB=
3
11
．S平行四邊形OAQB=|
OA
||
OB
|sin∠AOB=
3
2
2
．
同理當(dāng)m=-
2
2
時(shí)，S平行四邊形OAQB=
3
2
2
．
綜上，存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形，
且該平行四邊形的面積為
3
2
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
4
+
y2
a2
=1與雙曲線
x2
a
-
y2
2
=1有相同的焦點(diǎn)，則a的值是（　　）
A．1B．-1C．±1D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），經(jīng)過點(diǎn)（3，-2）與向量（-1，1）平行的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又
AM
=2
MB
．
（Ⅰ）求橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍；
（Ⅱ）若|
AB
|=
3
2
2
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與圓C：x2+（y-3）2=4交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB=120°，C在AB上方，如圖所示，
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在過交點(diǎn)B，斜率存在且不為0的直線l，使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長(zhǎng)相等？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

一束光線從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，經(jīng)過直線x+y-2=0反射后，恰好與橢圓x2+
y2
2
=1相切，則反射光線所在的直線方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，問在橢圓C上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形AMBF2為平行四邊形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y=-x2+2x，在點(diǎn)A（0，0），B（2，0）分別作拋物線的切線L1、L2．
（1）求切線L1和L2的方程；
（2）求拋物線C與切線L1和L2所圍成的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，
ADB
為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，與OD所在直線交于E點(diǎn)，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求證：λ1+λ2為定值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案