Question

已知函數(shù)．
（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值。

Answer 1

(1) (2) 當(dāng)時(shí)，取得最大值0．

試題分析：（1）． 1分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011429246383.png" style="vertical-align:middle;" />為的極值點(diǎn)，所以． 2分
即，解得．     3分
又當(dāng)時(shí)，，從而的極值點(diǎn)成立． 4分
（2）若時(shí)，方程可化為，．
問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
即求函數(shù)的值域．             7分
以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：
方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011429543875.png" style="vertical-align:middle;" />，令，
則   ，             9分
所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)，
當(dāng)，從而上為減函數(shù)，            10分
因此．
而，故，
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．           12分
方法2：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011429543875.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011430089555.png" style="vertical-align:middle;" />，故必有，又，
因此必存在實(shí)數(shù)使得，
，所以上單調(diào)遞減；
當(dāng)，所以上單調(diào)遞增；
當(dāng)上單調(diào)遞減；
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240114303381562.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)，則，又．
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值0．  12分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的 極值問題，通過利用函數(shù)的單調(diào)性放縮法來證明不等式，進(jìn)而得到最值，屬于中檔題。