Question

已知，，
（1）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（2）當時，求最大的正整數，使得對（是自然對數的底數）內的任意個實數都有成立；
（3）求證：．

Answer 1

（1）． （2）的最大值為．
（3）證明（法一）：先得到時，，即．
令，得，   
化簡得，
．
（法二）數學歸納法：

試題分析：（1）由得，
，要使不等式恒成立，必須恒成立．   
設，，
，當時，，則是增函數，
，是增函數，，．
因此，實數的取值范圍是．                     5分
（2）當時，，
，在上是增函數，在上的最大值為．
要對內的任意個實數都有
成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．
，解得．
因此，的最大值為．                              9分
（3）證明（法一）：當時，根據（1）的推導有，時，，
即．                            10分
令，得，   
化簡得，                  13分
．          14分
（法二）數學歸納法：當時，左邊=，右邊=，
根據（1）的推導有，時，，即．
令，得，即． 因此，時不等式成立．        10分
（另解：，，，即．）
假設當時不等式成立，即，
則當時,
，
要證時命題成立，即證，
即證． 在不等式中，令，得           
．  時命題也成立．     13分
根據數學歸納法，可得不等式對一切成立．   14分
點評：難題，本題屬于導數應用中的基本問題，像涉及恒成立問題，往往通過研究函數的最值達到解題目的。證明不等式問題，往往通過構造新函數，研究其單調性及最值，而達到目的。本題（II）解法較多，涉及復雜式子變形，學生往往失去耐心而失分。