Question

3．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-n，則（　�。�

• A． S_n=2ⁿ⁺¹-1
• B． a_n=2ⁿ-1
• C． S_n=2ⁿ⁺¹-2
• D． a_n=2ⁿ⁺¹-3

Answer 1

分析 由S_n=2a_n-n，得a₁=2a₁-1，即a₁=1；再根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，問(wèn)題得以解決．

解答 解：由S_n=2a_n-n，得a₁=2a₁-1，即a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，有S_n-1=2a_n-1-（n-1），
則a_n=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n=2a_n-1+1，
則a_n+1=2（a_n-1+1）
∵a₁+1=2；
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．