Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁＝0，a₂＝1，當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n＋2＝a_n＋1＋a_n.求證：數(shù)列{a_n}的第4m＋1項(xiàng)(m∈N^*)能被3整除．

Answer 1

 (1)當(dāng)m＝1時(shí)，a_4m＋1＝a₅＝a₄＋a₃＝(a₃＋a₂)＋(a₂＋a₁)＝(a₂＋a₁)＋2a₂＋a₁＝3a₂＋2a₁＝3＋0＝3.

即當(dāng)m＝1時(shí)，第4m＋1項(xiàng)能被3整除．故命題成立．

(2)假設(shè)當(dāng)m＝k時(shí)，a_4k＋1能被3整除，

則當(dāng)m＝k＋1時(shí)，

a_4(k＋1)＋1＝a_4k＋5＝a_4k＋4＋a_4k＋3

＝2a_4k＋3＋a_4k＋2＝2(a_4k＋2＋a_4k＋1)＋a_4k＋2

＝3a_4k＋2＋2a_4k＋1.

顯然，3a_4k＋2能被3整除，

又由假設(shè)知a_4k＋1能被3整除．

∴3a_4k＋2＋2a_4k＋1能被3整除．

即當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a_4(k＋1)＋1也能被3整除．命題也成立．

由(1)和(2)知，對(duì)于n∈N^*，數(shù)列{a_n}中的第4m＋1項(xiàng)能被3整除．