Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，OF⊥EC．
（Ⅰ）求證：OE⊥FC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=

3

，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)OC，則OC⊥AB，從而OC⊥平面ABEF，進(jìn)而OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC．
（Ⅱ）取EF的中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角F-CE-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OC，∵AC=BC，O為AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，
故OC⊥平面ABEF，
∴OC⊥OF，又OF⊥EC，
∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，
又OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC．
（Ⅱ）解：取EF的中點(diǎn)D，
以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OD所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，1，0），C（

2

，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，-1，1），

CE

=(-

2

，-1，-1)，

EF

=(0，-2，0)，
設(shè)平面FCE的法向量

n

=（x，y，z），
則

EC • n =- 2 x-y-z=0 EF • n =-2y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，

2

），
同理，可取平面BEC的一個(gè)法向量為

m

=(1，

2

，0)．
cos＜

n

，

m

＞=

1

3

，
∴二面角F-CE-B的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．