Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

8

a 2 n -1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和題意列出方程，求出首項、公差，代入等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，求出a_n及S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意求出b_n，利用裂項相消法求出數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
因為a₃=7，a₅+a₇=26，所以

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1，所以b_n=

8

a 2 n -1

=

8

(2n+1)2-1

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
所以數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

，
即數(shù)列{b_n}的前n項和是

2n

n+1

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，裂項相消法求數(shù)列的前n項和，以及方程思想，屬于中檔題．