Question

7．如圖某空間幾何體的正視圖和俯視圖分別為邊長為2的正方形和正三角形，則該空間幾何體的外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\frac{28π}{3}$
• C． 16π
• D． 21π

Answer 1

分析 由幾何體的三視圖知該幾何體是四棱錐S-ABCD，其中ABCD是邊長為2的正主形，△SBC是邊長為2 的等邊三角形，AB⊥平面SBC，由此能求出該空間幾何體的外接球的表面積．

解答 解：如圖，由幾何體的三視圖知該幾何體是四棱錐S-ABCD，
其中ABCD是邊長為2的正方形，△SBC是邊長為2 的等邊三角形，
AB⊥平面SBC，
取BC中點F，AD中點E，連結(jié)SF，EF，取EF中點M，則MF=1，SF=$\sqrt{3}$，
設(shè)該幾何體外接球的球心為O，則OM⊥面ABCD，設(shè)OM=x，
過O作OH⊥SF，交SF于H，則SH=$\sqrt{3}-x$，OH=MF=1，
∴OD²=OS²=R²，
即（$\sqrt{2}$）²+x²=1²+（$\sqrt{3}-x$）²，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴R=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$，
∴該空間幾何體的外接球的表面積S=$4π×（\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}）^{2}$=$\frac{28π}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查空間幾何體的外接球的表面積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意三視圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．