Question

已知函數(shù)f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），則下列結(jié)論中成立的是（　�。�

• A、a＜0，b＜0，c＜0
• B、a＜0，b≥0，c＞0
• C、2^-a＜2^c
• D、2^a+2^c＜2

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，結(jié)合題設(shè)可得A不正確；根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合舉反例的方法，可得到B、C不正確；利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的解析式，對(duì)a＜c且f（a）＞f（c）加以討論，可得D是正確的．由此不難得到正確選項(xiàng)．

解答： 解：對(duì)于A，若a＜0，b＜0，c＜0，因?yàn)閍＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，
而函數(shù)f（x）=|2^x-1|在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
故f（a）＞f（b）＞f（c），與題設(shè)矛盾，所以A不正確；
對(duì)于B，若a＜0，b≥0，c＞0，可設(shè)a=-1，b=2，c=3，
此時(shí)f（c）=f（3）=7為最大值，與題設(shè)矛盾，故B不正確；
對(duì)于C，取a=0，c=3，同樣f（c）=f（3）=7為最大值，
與題設(shè)矛盾，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)閍＜c，且f（a）＞f（c），說(shuō)明可能如下情況成立：
（i）a、c位于函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），此時(shí)a＜c＜0，可得0＜2^c＜2^a＜1，所以2^a+2^c＜2成立；
（ii）a、c不在函數(shù)的減區(qū)間（-∞，0），則必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化簡(jiǎn)整理，得2^a+2^c＜2成立．
綜上所述，可得只有D正確
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)帶絕對(duì)值的函數(shù)為例，在已知自變量大小關(guān)系和相應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系情況下，叫我們判斷幾個(gè)不等式的正確性，著重考查了函數(shù)的圖象與單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．