若M,A,B三點不共線,且存在實數(shù)λ
1,λ
2,使
=λ
1+λ
2,求證:“C為A,B的中點”的充要條件是“λ
1=λ
2=
”
考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷
專題:證明題,簡易邏輯
分析:充要性證明一般分充分性與必要性分開證明,由
=
+
可推出
+
=0,由C為A,B的中點可推出
=
+
.
解答:
解:充分性:∵λ
1=λ
2=
,
∴
=
+
,
即
(
-
)+
(
-
)=0,
即
+
=0,
∴C為A,B的中點;
必要性:∵C為A,B的中點,
∴
+
=0,
∴
(
-
)+
(
-
)=0,
∴
=
+
,
又∵M,A,B三點不共線,
∴
,
是平面向量的一組基底,
∴λ
1=λ
2=
.
點評:本題考查了充要性的證明,充要性證明一般分充分性與必要性分開證明;同時考查了向量的化簡,由
+
=0可知C為A,B的中點,由
=
+
,
=λ
1+λ
2;由平面向量基本定理可知λ
1=λ
2=
.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
等比數(shù)列{a
n}中,公比q=4,且前3項之和是21,則數(shù)列的通項公式a
n=
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),則下列結(jié)論中成立的是( )
A、a<0,b<0,c<0 |
B、a<0,b≥0,c>0 |
C、2-a<2c |
D、2a+2c<2 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知四邊形ABCD為正方形,點P為平面ABCD外一點,PD⊥AD,PD=AD=2,∠PDC=60°,則四棱錐P-ABCD的體積為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
從10個學(xué)生中選3人參加3項比賽,且每人只參加一項比賽,共有多少不同選法?
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=x
2-2x+alnx+1有兩個極值點x
1,x
2,且x
1<x
2.
(1)求實數(shù)a的取值范圍,并討論f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:f(x
2)>
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意實數(shù)m,n都滿足 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,當(dāng)x>0時,f(x)>1,則不等式f(2x-1)+f(
)<2的解集是( 。
A、(-∞,-)∪(0,1) |
B、(-∞,0) |
C、(0,+∞) |
D、(-∞,-) |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,φ∈(0,
))的部分圖象如圖所示,其中點P是圖象的最高點,則f(
)=
.
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