Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）已知函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂可化為f′（x）=

2x2-2x+a

x

=0有兩個(gè)不同的正根x₁，x₂，從而解得；再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=1，x₁x₂=

a

2

，從而a=2x₂（1-x₂），代入化簡(jiǎn)可得f（x₂）=（x₂-1）²+2x₂（1-x₂）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1），令h（t）=（t-1）²+2t（1-t）lnt，（

1

2

＜t＜1），求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明上式成立．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

2x2-2x+a

x

，
∵函數(shù)f（x）=x²-2x+alnx+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f′（x）=

2x2-2x+a

x

=0有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
∴

△=4-8a＞0 1 2 a＞0

解得，0＜a＜

1

2

，
此時(shí)，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
（2）證明：由（1）知，
x₁+x₂=1，x₁x₂=

a

2

，則a=2x₂（1-x₂），
因此，f（x₂）=（x₂-1）²+alnx₂=（x₂-1）²+2x₂（1-x₂）lnx₂，（

1

2

＜x₂＜1）
令h（t）=（t-1）²+2t（1-t）lnt，（

1

2

＜t＜1）則
h′（t）=2（t-1）+[2（1-2t）lnt+2（1-t）]=2（1-2t）lnt，
∵

1

2

＜t＜1，∴1-2t＜0，lnt＜0，
∴h′（t）＞0，
即h（t）在（

1

2

，1）上單調(diào)遞增，
則h（t）＞h（

1

2

）=

1-2ln2

4

，
即f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)比較繁瑣，注意要細(xì)心，屬于難題．