Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意實數(shù)m，n都滿足 f（m+n）=f（m）+f（n）-1，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，則不等式f（2x-1）+f（

1

x

）＜2的解集是（　�。�

• A、（-∞，-

  1

  2

  ）∪（0，1）
• B、（-∞，0）
• C、（0，+∞）
• D、（-∞，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=0，求出f（0）=1，令y=-x得到f（x）+f（-x）=2，令x₁＜x₂，由條件推出f（x₁）＜f（x₂），即可判斷f（x）的單調(diào)性；

解答： 解：令x=y=0則f（0）=2f（0）-1，f（0）=1，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）-1=1，f（x）+f（-x）=2
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時f（x）＞1
∴f（x₂-x₁）＞1
即f（x₂）+f（-x₁）-1＞1
∵f（-x₁）+f（x₁）=2
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
f（2x-1）+f（

1

x

）=f（2x-1+

1

x

）+1
不等式f（2x-1）+f（

1

x

）＜2等價于f（2x-1+

1

x

）+1＜2，f（2x-1+

1

x

）＜1，
∴f（2x-1+

1

x

）＜f（0），
∵f（x）在R上是增函數(shù)，
∴2x-1+

1

x

＜0，解得x＜0，
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，注意定義的運(yùn)用，同時考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，務(wù)必掌握．