Question

已知在直角坐標平面上，向量

a

=（-3，2λ），

b

=（-3λ，2），定點A（3，0），其中0＜λ＜1．一自點A發(fā)出的光線以

a

為方向向量射到y(tǒng)軸的B點處，并被y軸反射，其反射光線與自點A以

b

為方向向量的光線相交于點P．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）問A、B、P、O四點能否共圓（O為坐標原點），并說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運算

專題：綜合題

分析：（1）求出直線AB方程，可得B的坐標，P點關于y軸的對稱點為P'（-x，y），則P'在直線AB上，可得方程y=-

2λ

3

（-x-3）；直線AP的斜率為-

2

3λ

，可得方程y=-

2

3λ

（x-3），聯(lián)立消去λ可得到x和y的關系，即可求出點P的軌跡方程；
（2）四點共圓，由于OA⊥OB，那么要算下PB和PA是否垂直，如果成立，則結論成立．

解答： 解：（1）設P（x，y），則直線AB的斜率為-

2λ

3

，則直線AB方程為y=-

2λ

3

（x-3），
則可得到B點（0，2λ），
P點關于y軸的對稱點為P'（-x，y），則P'在直線AB上，可得方程y=-

2λ

3

（-x-3）；
直線AP的斜率為-

2

3λ

，可得方程y=-

2

3λ

（x-3），
聯(lián)立消去λ可得到x和y的關系

x2

9

+

y2

4

=1，即點P的軌跡方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）四點共圓，由于OA⊥OB，那么要算下PB和PA是否垂直，如果成立，則結論成立．
k_PA•k_PB=

y

x-3

•

y-2λ

x

≠-1，∴A、B、P、O四點不共圓．

點評：本題考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．