Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（log₂x）=x+

a

x

，a為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）如果f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（3）如果f（x）為偶函數(shù)，用函數(shù)單調(diào)性的定義討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）利用f（-x）=f（x）恒成立，依此可構(gòu)造出a的方程，解之即可；
（3）遵循“取值、作差、判斷符號(hào)下結(jié)論”的步驟證明單調(diào)性．

解答： 解：（1）令log₂x=t，則x=2^t．
∴f（t）=2^t+

a

2t

．
∴f（x）=2^x+

a

2x

（x∈R）．
（2）由f（-x）=f（x），則2^-x+

a

2-x

=2^x+

a

2x

對(duì)任意的x∈R恒成立，
化簡(jiǎn)得（2^x-2^-x）（1-a）=0對(duì)x∈R均成立．
∴1-a=0，即a=1．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2^x+

1

2x

，
設(shè)0≤x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-（2x2+

1

2x2

）
=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

），
∵2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
因此f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．
同理當(dāng)x₁＜x₂＜0時(shí)，
f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的奇偶性求待定系數(shù)的值以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義如何證明函數(shù)的單調(diào)性．