Question

數(shù)列{x_n}由下列條件確定：x₁=a＞0，x_n+1=，n∈N．
（Ⅰ）證明：對n≥2，總有x_n≥；
（Ⅱ）證明：對n≥2，總有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若數(shù)列{x_n}的極限存在，且大于零，求x_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=，知x_n＞0．從而有x_n+1=（n∈N），所以，當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥成立．
（Ⅱ）證法一：當(dāng)n≥2時(shí)，由x_n≥＞0，x_n+1=，用作差法知當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥x_n+1成立．
證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，由x_n≥＞0，x_n+1=，用作商法知當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）記x_n=A，則x_n+1=A，且A＞0．由x_n+1=，得A=．由此能導(dǎo)出x_n的值．
解答：證明：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=，
可歸納證明x_n＞0．
從而有x_n+1=（n∈N），
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥成立．
（Ⅱ）證法一：當(dāng)n≥2時(shí)，
因?yàn)閤_n≥＞0，x_n+1=
所以x_n+1-x_n=≤0，
故當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥x_n+1成立．
證法二：當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)閤_n≥＞0，x_n+1=，
所以=1，
故當(dāng)n≥2時(shí)，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）解：記x_n=A，則x_n+1=A，且A＞0．
由x_n+1=，得A=．
由A＞0，解得A=，故x_n=．
點(diǎn)評：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、不等式等基本知識，考查邏輯思維能力．