Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）若n∈N⁺，求

lim

n→∞

af(n)

an+a

．

Answer 1

分析：（1）據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，列出不等式求出定義域；求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)大于0函數(shù)得到遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）求出f（n）代入極限式，利用特殊函數(shù)的極限值求出極限．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x），∴1-a^x＞0，∴a^x ＜1．
當(dāng) a＞1時，由a^x ＜1解得 x＜0，定義域為（-∞，0）．
此時，由于1-a^x 是（-∞，0）上的減函數(shù)，故函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x）是減函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時，由a^x ＜1解得 x＞0，定義域為（0，+∞）．
此時，由于1-a^x 是（-∞，0）上的增函數(shù)，故函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x）是減函數(shù)．
（2）若n∈N⁺，因為f（n）=log_a（1-aⁿ），所以a^f（n）=1-aⁿ，由函數(shù)定義域知1-aⁿ＞0，
因為n是正整數(shù)，故0＜a＜1，
∴

lim

n→∞

af(n)

an+a

=

lim

n→∞

1-an

an+a

=

1

a

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，極限及其運算，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．