Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間[-2，2]的奇函數(shù)，若f（x）+x•f′（x）＞0，則不等式（-x+1）•f（1-x）＞0的解集是[-1，1）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，設(shè)g（x）=xf（x），求導(dǎo)，根據(jù)題意得到函數(shù)g（x）為增函數(shù)，則求出g（0）=0，則不等式（-x+1）•f（1-x）＞0轉(zhuǎn)化為g（-x+1）＞g（0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域即可求出不等式的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
∴g（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間[-2，2]的奇函數(shù)，
∴g（0）=0×f（0）=0
∵（-x+1）•f（1-x）＞0
∴g（-x+1）＞g（0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-x+1≤2}\\{-x+1＞0}\end{array}\right.$，
解得-1≤x＜1，
故不等式的解集為[-1，1），
故答案為[-1，1）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)關(guān)系，以及不等式的解集的求法，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．