Question

15．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+ϕ）+cos（2x+ϕ）（-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$（π，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，則f（x）的最小正周期為π，ϕ的值為$-\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），由正弦函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，將$（π，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），整理得：sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，由-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，φ=$-\frac{π}{12}$．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin（2x+ϕ）+cos（2x+ϕ）（-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，
則f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），
由正弦函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
將$（π，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$代入f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$），
$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$sin（2×π+φ+$\frac{π}{4}$），整理得：sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{6}$，
∴φ=$-\frac{π}{12}$
故答案為：π，$-\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查誘導(dǎo)公式及輔助角公式的應(yīng)用，考查特殊角的函數(shù)值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．