Question

已知拋物線C：x²=4y，過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點（A在第一象限）．
（Ⅰ）當S_△OFA=2S_△OFB時，求直線l的方程；
（Ⅱ）過點A（2t，t²）作拋物線C的切線l₁與圓x²+（y+1）²=1交于不同的兩點M，N，設F到l₁的距離為d，求

|MN|

d

的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由S_△OFA=2S_△OFB，可得|AF|=2|FB|．設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，利用

x1=-2x2 x 2 1 4 +1=2( x 2 2 4 +1)

，解出即可；
（2）由于y=

x2

4

，因此y′=

1

2

x，可得切線l₁的方程為y-t²=t（x-2t），圓心（0，-1）到l₁的距離為d₁=

|1-t2|

t2+1

，且d₁＜1，故0＜t²＜3．則|MN|=2

1- d 2 1

=2|t|

3-t2 t2+1

，點F到l₁的距離d=

t2+1

，

|MN|

d

=2

3t2-t4 t4+2t2+1

，通過換元利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）∵S_△OFA=2S_△OFB，∴|AF|=2|FB|．
設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)，則

x1=-2x2 x 2 1 4 +1=2( x 2 2 4 +1)

，
故

x

2 2

=2，
∴A(2

2

，2)．
因此直線l的方程為y=

2

4

x+1．
（2）由于y=

x2

4

，因此y′=

1

2

x，
故切線l₁的方程為y-t²=t（x-2t），
化簡得tx-y-t²=0，
則圓心（0，-1）到l₁的距離為d₁=

|1-t2|

t2+1

，且d₁＜1，故0＜t²＜3．
則|MN|=2

1- d 2 1

=2|t|

3-t2 t2+1

，
則點F到l₁的距離d=

t2+1

，
則

|MN|

d

=2

3t2-t4 t4+2t2+1

，
令z=

3t2-t4

t4+2t2+1

=-1+

5t2+1

t2+2t2+1

=-1+

25m

m2+8m+16

，（m=5t²+1∈（1，16）．
則z=-1+

25

m+ 16 m +8

∈(0，

9

16

)，
故

|MN|

d

∈(0，

3

2

]．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交與相切問題、導數的幾何意義、點到直線的距離公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．