Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）、根據(jù)題中已知條件直接化簡，然后令，得到則，求出b_n的表達(dá)式，繼而可以求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）、由（1）中求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式將an分成兩部分，2ⁿ和（n-1）3ⁿ先求出（n-1）3ⁿ的前n項(xiàng)和Tn，然后加上2ⁿ的前n項(xiàng)和便可求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ（n∈N^*）
可得（2分）
令，則（3分）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n-b_n-1+b_n-1-b_n-2+…+b₃-b₂+b₂-b₁=（5分）
=
∴（6分）
∴a_n=3ⁿb_n=2ⁿ+（n-1）3ⁿ（7分）
（2）令T_n=3²+2•3³+3•3⁴+…+（n-2）3^n-1+（n-1）3ⁿ，①（8分）
    3T_n=3³+2•3⁴+3•3⁵+…+（n-2）3ⁿ+（n-1）3ⁿ⁺¹②（9分）
①式減去②式得：，（10分）
∴．（12分）
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．（14分）
點(diǎn)評：本題考查的數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，是各地中考的熱點(diǎn)，屬于中檔題．