已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1）且與橢圓C交于不同兩點A，B，當(dāng)點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出
c=2
e=
c
a
=
2
2
，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，聯(lián)立方程組
y=kx+1
x2
8
+
y2
4
=1
，得（1+2k2）x2+4kx-6=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的斜率k的范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），離心率為
2
2
，
∴
c=2
e=
c
a
=
2
2
，解得c=2，a=2
2
，
∴b2 =8-4=4，
∴橢圓C的標準方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2 ，y2)，
聯(lián)立方程組
y=kx+1
x2
8
+
y2
4
=1
，得（1+2k2）x2+4kx-6=0，（*），
∴x1+x2=
-4k
1+2k2
，x1x2=
-6
1+2k2
，
∵橢圓C的右焦點F（2，0）在以AB為直徑的圓內(nèi)時，∴
FA
•
FB
＜0，
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，
即x1x2-2(x1+x2 )+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1＜0，
∴(1+k2)•
-6
1+2k2
+(k-2)•
-4k
1+2k2
+5=
8k-1
1+2k2
＜0，解得k＜
1
8
，
經(jīng)檢驗當(dāng)k＜
1
8
時，（*）有解，即直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，
1
8
）．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
∫
a
0
xdx=2（a＞0），則a的值為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸上，點N為平面內(nèi)的動點，且滿足
PM
•
PF
=0，
PM
+
PN
=0．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）設(shè)點Q是直線l：x=-1上任意一點，過點Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點分別為S，T，設(shè)切線QS，QT的斜率分別為k1，k2，直線QF的斜率為k0，求證：k1+k2=2k0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有4名學(xué)生，分別插入A、B兩班學(xué)習(xí)，求每班最多只能接收3名學(xué)生，且甲不去A班的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=
2
3
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對任意實數(shù)λ，求證：a1，a2，a3不成等比數(shù)列；
（2）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有Sn＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是計算1+2+
1
2
+3+
1
3
+4+
1
4
+…+2012+
1
2012
的程序框圖．
（1）程序框圖中①應(yīng)填
 
，②應(yīng)填
 
．
（2）寫出程序框圖對應(yīng)的程序．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx）．設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的取值集合；
（Ⅱ）在角A為銳角的△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，f（A）=6且△ABC的面積為3，b+c=2+3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

閱讀：已知a、b∈（0，+∞），a+b=1，求y=
1
a
+
2
b
的最小值．解法如下：y=
1
a
+
2
b
=（
1
a
+
2
b
）（a+b）=
b
a
+
2a
b
+3≥3+2
2
，當(dāng)且僅當(dāng)
b
a
=
2a
b
，即a=
2
-1，b=2-
2
時取到等號，則y=
1
a
+
2
b
的最小值為3+2
2
．應(yīng)用上述解法，求解下列問題：
（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=
1
a
+
1
b
+
1
c
的最小值；
（2）已知x∈（0，
1
2
），求函數(shù)y=
1
x
+
8
1-2x
的最小值；
（3）已知正數(shù)a1、a2、a3，…，an，a1+a2+a3+…+an=1，求證：S=
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+
a32
a3+a4
+…+
an2
an+a1
≥
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=
2an
an+2
（n∈N），
（1）寫出a2、a3、a4、a5值；
（2）由前5項猜想數(shù)列{an}通項公式an并證明．

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