已知不等式
1
2
+
1
3
+
+
1
n
1
2
[log2n]
,其中n為大于2的整數(shù),[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正,且滿足a1=b(b>0),an
nan-1
n+an-1
,n=2,3,4,…

(Ⅰ)證明an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,…

(Ⅱ)試確定一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),對任意b>0,都有an
1
5
分析:(Ⅰ)當(dāng)n≥2時(shí),0<an
nan-1
n+an-1
,可得
1
an
-
1
an-1
1
n
,于是有n取2,3,…所有不等式兩邊相加,即可得到
1
an
-
1
a1
1
2
[log2n]
,利用a1=b,即可得到結(jié)論;
(Ⅱ)an
2b
2+b[log2n]
2
[log2n]
,令
2
[log2n]
1
5
,由此可得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:當(dāng)n≥2時(shí),0<an
nan-1
n+an-1
,∴
1
an
1
an-1
+
1
n

1
an
-
1
an-1
1
n
,于是有
1
a2
-
1
a1
1
2
,
1
a3
-
1
a2
1
3
,…,
1
an
-
1
an-1
1
n

所有不等式兩邊相加可得
1
an
-
1
a1
1
2
+
1
3
+…+
1
n

由已知不等式知,當(dāng)n≥3時(shí)有
1
an
-
1
a1
1
2
[log2n]

∵a1=b,∴
1
an
1
 b
+
1
2
[log2n]

an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,…

(Ⅱ)解:an
2b
2+b[log2n]
2
[log2n]
,令
2
[log2n]
1
5

則有log2n≥[log2n]>10,⇒n>210=1024,
故取N=1024,可使當(dāng)n>N時(shí),都有an
1
5
點(diǎn)評:本題考查新定義,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
[log2n]
,其中n為大于2的整數(shù),[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正,且滿足a1=b(b>0),an
nan-1
n+an-1
,n=2,3,4,….證明:an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,….

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式為
1
3
3x<27
,則x的取值范圍( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-
1
2
<x<
1
3
},則b-a的值等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:湖北 題型:解答題

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
1
2
[log2n]
,其中n為大于2的整數(shù),[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正,且滿足a1=b(b>0),an
nan-1
n+an-1
,n=2,3,4,….證明:an
2b
2+b[log2n]
,n=3,4,5,….

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案