Question

已知函數f（x）=e^x-ax-1．
（1）求f（x）的單調增區(qū)間；
（2）是否存在a，使f（x）在（-2，3）上為減函數，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求出函數的導數，再討論①若a≤0，②若a＞0的情況，從而求出單調區(qū)間；
（2）由f′（x）=e^x-a≤0在（-2，3）上恒成立．從而a≥e^x在x∈（-2，3）上恒成立，從而f（x）在（-2，3）上為減函數，得a≥e³．故存在實數a≥e³，使f（x）在（-2，3）上單調遞減．

解答： 解　f′（x）=e^x-a，
（1）若a≤0，則f′（x）=e^x-a≥0，
即f（x）在R上遞增，
若a＞0，e^x-a≥0，∴e^x≥a，x≥ln a．
因此f（x）的遞增區(qū)間是[lna，+∞）．
（2）由f′（x）=e^x-a≤0在（-2，3）上恒成立．
∴a≥e^x在x∈（-2，3）上恒成立．
又∵-2＜x＜3，∴e^-2＜e^x＜e³，只需a≥e³．
當a=e³時f′（x）=e^x-e³在x∈（-2，3）上，f′（x）＜0，
即f（x）在（-2，3）上為減函數，
∴a≥e³．
故存在實數a≥e³，使f（x）在（-2，3）上單調遞減．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求參數的范圍，是一道基礎題．