Question

以下說法正確的有

 

（填正確的序號）．
①一個函數(shù)f（x）若在x=x₀處的導數(shù)為零，則這個函數(shù)f（x）在x=x₀處一定取得極值．
②定積分S=

∫

b a

f(x)dx的幾何意義就是函數(shù)f（x）的曲線與直線x=a，x=b以及x軸所圍成圖形的面積．
③函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的極大值就是最大值，極小值就是最小值．
④歸納推理和類比推理都是兩種合情推理，通過這兩種方法推理所得到的結(jié)論不一定正確．
⑤若x＞2，則x+

1

x

的最小值是

5

2

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用,推理和證明

分析：①比如y=x³，y′=3x²，y′=0解得x=0，驗證x=0，是否極值點，即可判斷；
②在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f（x）連續(xù)且恒有f（x）≥0，由定積分

∫

b a

f（x）dx的幾何意義，即可判斷；
③比如求f（x）=x³-x²-x，在[-2，2]上的最值，即可判斷；
④歸納推理和類比推理都是兩種合情推理，由它們的特點，即可判斷；
⑤若x＞2，求出函數(shù)x+

1

x

的導數(shù)，由導數(shù)的符號即可判斷單調(diào)性，從而得到值域，即可判斷．

解答： 解：①比如y=x³，y′=3x²，y′=0解得x=0，在x=0處附近y′左正右正，不為極值點，故①錯；
②在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f（x）連續(xù)且恒有f（x）≥0，那么定積分

∫

b a

f（x）dx表示
由直線x=a，x=b（a≠b），y=0和曲線y=f（x）所圍成的曲邊梯形的面積．故②錯；
③函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的極大值不一定是最大值，極小值不一定是最小值．
比如f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1，令f′（x）=0，即3x²-2x-1=0，解得，x=-

1

3

，或x=1，
又當x＞1時，f′（x）＞0，當-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＜-

1

3

時，f′（x）＞0，
則函數(shù)在x=-

1

3

時有極大值為f（-

1

3

）=

5

27

，函數(shù)在x=1時有極小值為f（1）=-1，f（2）=2，f（-2）=-10．
故函數(shù)有最大值為2，有最小值為-10，均不為極值．故③錯；
④歸納推理和類比推理都是兩種合情推理，歸納推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理，通過這兩種方法推理所得到的結(jié)論不一定正確，有待進一步驗證，故④正確；
⑤若x＞2，則函數(shù)x+

1

x

的導數(shù)為1-

1

x2

＞0，故函數(shù)為增函數(shù)，值域為（2.5，+∞），故⑤錯．
故答案為：④．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求極值和最值，考查極值存在的條件和極值與最值的關(guān)系，以及歸納和類比推理的相同點，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于易錯題．