Question

已知函數(shù)f(x)=

x2

e

，g（x）=2alnx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間，若F（x）有最值，請求出最值；
（2）是否存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出a的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出導(dǎo)數(shù)F'（x），再對a進行討論：分a≤0，a＞0兩種情況討論，由F'（x）＞0得增區(qū)間，F(xiàn)'（x）＜0得減區(qū)間，從而判斷函數(shù)的極值和最值；
（2）這是探索性題目，首先假設(shè)存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，方法一：構(gòu)造F（x）=f（x）-g（x），運用函數(shù)零點的思想，由（1）的結(jié)論得a=1，從而求出公共點的坐標和切線方程；方法二：設(shè)出公共點的坐標，由假設(shè)列出兩個方程，解這個方程組得，另外要運用（1）的結(jié)論說明除了這個點再沒有其它點，最后求出公共點的坐標和切線方程．

解答： 解：（1）①當a≤0時，F(x)=

x2

e

-2alnx（x＞0），導(dǎo)數(shù)F'（x）=

2x

e

-

2a

x

＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以F（x）只有一個單調(diào)遞增區(qū)間（0，+∞），無減區(qū)間，沒有最值（3分）
②當a＞0時，導(dǎo)數(shù)F'（x）=

2x

e

-

2a

x

=

2(x- ea )(x+ ea )

ex

，
若0＜x＜

ea

，則F′(x)＜0，F(xiàn)(x)在(0，

ea

)上單調(diào)遞減；
若x＞

ea

，則F′(x)＞0，F(xiàn)(x)在(

ea

，+∞)上單調(diào)遞增，
所以當x=

ea

時，F(xiàn)（x）有極小值，也是最小值即為a-2aln

ea

=-alna（6分）
所以當a＞0時，F(xiàn)（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

ea

)
單調(diào)遞增區(qū)間為(

ea

，+∞)，最小值為-alna，無最大值；
當a≤0時，函數(shù)F（x）只有增區(qū)間（0，+∞），無減區(qū)間，無最值．（7分）
（2）方法一，若存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
則方程f（x）-g（x）=0有且只有一解，所以函數(shù)F（x）有且只有一個零點（8分）
由（1）的結(jié)論可知F（x）_min=-alna=0得a=1（10分）
此時，F(x)=f(x)-g(x)=

x2

e

-2lnx≥0，F(x)min=F(

e

)=0，
所以f(

e

)=g(

e

)=1，
所以f（x）與g（x）的圖象的唯一公共點坐標為(

e

，1)，
又因為f′(

e

)=g′(

e

)=

2

e

，
所以f（x）與g（x）的圖象在點(

e

，1)處有共同的切線，
其方程為y-1=

2

e

(x-

e

)，即y=

2

e

x-1（13分）
綜上所述，存在a=1，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，且在該點處的公切線方程為（14分）
方法二：設(shè)存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，
設(shè)f（x）與g（x）圖象的公共點坐標為（x₀，y₀），
根據(jù)題意得

f(x0)=g(x0) f′(x0)=g′(x0)

即

x 2 0 e =2alnx0 2x0 e = 2a x0

解得lnx0=

1

2

，所以x0=

e

，從而a=1（10分）
此時由（1）可知F(x)min=F(

e

)=0
所以當x＞0且x≠

e

時，F(xiàn)（x）＞0，即f（x）＞g（x）
因此除x0=

e

外，再沒有其它x₀，使f（x₀）=g（x₀）（13分）
故存在a=1，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標為(

e

，1)，公切線方程為y=

2

e

x-1（14分）

點評：本題是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，不僅考查運用導(dǎo)數(shù)求切線方程，還考查運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時還考查同學(xué)探索問題結(jié)論的能力，是一道好題．本題屬于中檔題．