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已知二次函數f(x)的最小值為1,f(0)=f(2)=3,g(x)=f(x)+ax(a∈R).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數g(x)在[-1,1]上為單調函數,求實數a的取值范圍;
(3)若在區(qū)間[-1,1]上,g(x)圖象上每個點都在直線y=2x+6的下方,求實數a的取值范圍.
考點:二次函數的性質
專題:函數的性質及應用
分析:(1)先求出函數的頂點坐標,設出函數的表達式,代入f(0)=3,從而求出函數的表達式;
(2)先求出g(x)的表達式,從而求出函數的對稱軸,頂點不等式,解出a的范圍即可;
(3)由題意得不等式組,解出即可.
解答: 解:(1)∵f(0)=f(2)=3,最小值是1,
∴對稱軸x=1,函數的頂點是:(1,1),
∴設函數的表達式是f(x)=a(x-1)2+1,
將f(0)=3代入,解得:a=2,
∴f(x)=2x2-4x+3;
(2)由題意得g(x)=2x2+(a-4)x+3,
對稱軸
4-a
4
≤-1
4-a
4
≥1

可得a≤0或a≥8;
(3)g(x)<2x+6⇒h(x)=2x2+(a-6)x-3<0⇒
h(-1)<0
h(1)<0
,
解得5<a<7.
點評:本題考查了二次函數的性質,考查了函數的單調性,考查了求參數的范圍,是一道中檔題.
練習冊系列答案
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DB
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y
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