Question

已知二次函數f（x）的最小值為1，f（0）=f（2）=3，g（x）=f（x）+ax（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）在[-1，1]上為單調函數，求實數a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間[-1，1]上，g（x）圖象上每個點都在直線y=2x+6的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出函數的頂點坐標，設出函數的表達式，代入f（0）=3，從而求出函數的表達式；
（2）先求出g（x）的表達式，從而求出函數的對稱軸，頂點不等式，解出a的范圍即可；
（3）由題意得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）∵f（0）=f（2）=3，最小值是1，
∴對稱軸x=1，函數的頂點是：（1，1），
∴設函數的表達式是f（x）=a（x-1）²+1，
將f（0）=3代入，解得：a=2，
∴f（x）=2x²-4x+3；
（2）由題意得g（x）=2x²+（a-4）x+3，
對稱軸

4-a

4

≤-1或

4-a

4

≥1，
可得a≤0或a≥8；
（3）g(x)＜2x+6⇒h(x)=2x2+(a-6)x-3＜0⇒

h(-1)＜0 h(1)＜0

，
解得5＜a＜7．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了函數的單調性，考查了求參數的范圍，是一道中檔題．