Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，其前n項(xiàng)和為T_n，且b₂+S₂=11，2S₃=9b₃．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（2）問是否存在正整數(shù)m，n，r，使得T_n=a_m+r•b_n成立？如果存在，請求出m，n，r的關(guān)系式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）先求出等差數(shù)列{a_n}的公差d，即可求出數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)；
（2）先求出T_n，所以有2ⁿ-1=3m+r•2^n-1．…（*）討論可得只有當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，r=1，m=

2n-1-1

3

；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不存在．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則

q+3+3+d=11 2(3+3+d+3+2d)=9q2

…（2分）
解得d=3，q=2．   …（4分）
所以an=3n，bn=2n-1．    …（6分）
（2）因?yàn)?span id="6j2d5ll" class="MathJye">Tn=1+2+…+2n-1=2n-1，…（7分）
所以有2ⁿ-1=3m+r•2^n-1．…（*）
若r≥2，則r•2^n-1＞2ⁿ-1，（*）不成立，所以r=1，m=

2n-1-1

3

．…（9分）
若n為奇數(shù)，①當(dāng)n=1時(shí)，m=0，不成立，…（10分）
②當(dāng)n≥1時(shí)，設(shè)n=2t+1，t∈N^*，則m=

2n-1-1

3

=

22t-1

3

=

4t-1

3

∈Z…（12分）
若n為偶數(shù)，設(shè)n=2t，t∈N^*，則m=

2n-1-1

3

=

22t-1-1

3

=

2•4t-1-1

3

=2•

4t-1-1

3

+

1

3

，
因?yàn)?span id="qdwxyn7" class="MathJye">

4t-1-1

3

∈Z，所以m∉Z．…（14分）
綜上所述，只有當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，r=1，m=

2n-1-1

3

．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不存在．   …（16分）

點(diǎn)評：本題主要考察了數(shù)列的求和，解題時(shí)注意隱藏條件，要耐心細(xì)致，屬于中檔題．