Question

數(shù)列{a_n}中，a_n＜0，前n項(xiàng)和S_n=-

1

4

(an-1)2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

n(3-an)

（n∈N⁺），T_n=b₁+b₂+…+b_n，若對任意n∈N⁺，總存在m∈[-1，1]使T_n＜m²-2m+t+

1

2

成立，求出t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：本題（1）將和式轉(zhuǎn)化不項(xiàng)式，研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意要分類討論；
（2）先通過裂項(xiàng)法求和，再研究能成立問題，求出關(guān)于m的函數(shù)的最大值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，
∵S1=-

1

4

(a1-1)2=a1，
∴a₁=-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，
an=Sn-Sn-1=-

1

4

(an-1)2+

1

4

(an-1-1)2，
∴4an=-

a

2 n

+2an-1+

a

2 n-1

-2an-1+1．
∴a_n-a_n-1=-2（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=-2n+1．
（2）∵bn=

1

n(3-a n)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=

1

2

(1-

1

2

)+

1

2

(

1

2

-

1

3

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
=

1

2

-

1

2n+2

．
∴T_n＜

1

2

．
設(shè)f(m)=m2-2m+t+

1

2

，
函數(shù)f（m）在m∈[-1，1]內(nèi)的最大值為t+

7

2

，
∴t+

7

2

≥

1

2

，
∴t≥-3．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系、裂項(xiàng)法求和、能成立問題，本題難度適中，屬于中檔題．