Question

如圖，P是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中BC₁上的動點(diǎn)，下列命題：
①AP⊥B₁C；
②BP與CD₁所成的角是60°；
③VP-AD1C為定值；
④B₁P∥平面D₁AC；
⑤二面角P-AB-C的平面角為45°．
其中正確命題的個(gè)數(shù)有（　　）

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：直接利用空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系及面面關(guān)系逐一判斷5個(gè)命題得答案．

解答： 解：對于①，∵AB⊥B₁C，BC₁⊥B₁C，
∴B₁C⊥面ABC₁，
∴AP⊥B₁C，命題①正確；
對于②，BP與CD₁所成的角等于BP與CD₁所成的角，等于60°，命題②正確；
對于③，∵BC₁∥面AD₁C，則P到面AD₁C的距離相等，
∴VP-AD1C為定值，命題③正確；
對于④，∵面BB₁C₁與面AD₁C相交，
∴B₁P∥平面D₁AC錯(cuò)誤；
對于⑤，由二面角的定義知，∠C₁BC為二面角P-AB-C的平面角，等于45°，命題⑤正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間中的線線關(guān)系和線面關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．