Question

已知函數(shù)f（x）=

e-x+1(x≥0) ax+2(x＜0)

（a為常數(shù)），對(duì)于下列結(jié)論
①函數(shù)f（x）的最大值為2；
②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；
③當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，xf′（x）＜0（這里f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）；
④當(dāng)a＞0時(shí)，方程f[f（x）]=1有三個(gè)不等實(shí)根．
其中正確的結(jié)論是（　　）

• A、①③④
• B、②③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象觀察得到，通過a＞0，a＜0即可判斷①；通過a＜0的圖象，即可判斷②；
通過a＞0的圖象，結(jié)合單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可判斷③；通過a＞0的圖象運(yùn)用換元法，即可解出方程，從而判斷④．

解答： 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過圖象觀察得到：
①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2，當(dāng)a＜0時(shí)，無最大值．
故①錯(cuò)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)且為減函數(shù)，
故②對(duì)；
③當(dāng)a＞0時(shí)，x＜0，f（x）為單調(diào)增函數(shù)；x＞0時(shí)，f（x）為減函數(shù)．故當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)一切非零實(shí)數(shù)x，xf′（x）＜0成立，
故③正確；
④當(dāng)a＞0時(shí)，方程f[f（x）]=1，令f（x）=t，則f（t）=1，
解得t=-

1

a

，則x=-

1

a2

-

2

a

，則方程僅有一解，故④錯(cuò)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．