Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)．
（1）求證：FG∥平面PBD；
（2）當(dāng)二面角B-PC-D的大小為

2π

3

時(shí)，求FG與平面PCD所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用直線與平面平行的判定定理證明FG∥平面PBD；
（2）以AB為x軸，AD為y 軸，AP為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB=1，AP=t 推出B，C，D，P，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用二面角B-PC-D的大小為

2π

3

，通過FG對(duì)應(yīng)向量以及平面PCD的法向量，利用數(shù)量積，即可求解的正切值．

解答： （本小題滿分14分）．
解：（1）連接PE，G．、F為EC和PC的中點(diǎn)，∴FG∥PE，F(xiàn)G?平面PBD，PE?平面PBD，∴FG∥平面PBD…（5分）
（2）以AB為x軸，AD為y 軸，AP為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB=1，AP=t 則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，t），F(

1

2

，

1

2

，

t

2

)，G(

3

4

，

3

4

，0)…（7分）
∴

BP

=(-1，0，t)，

BC

=(0，1，0)，∴平面BPC的一個(gè)法向量為

n

=(t，0，1)
又

DC

=(1，0，0)，

DP

=(0，-1，t)，∴平面DPC的一個(gè)法向量為

m

=(0，t，1)…（9分）
∵二面角B-PC-D的大小為

2π

3

，∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

t2+1

|=

1

2

∴t=1…（11分）
∴

FG

=(

1

4

，

1

4

，-

1

2

)
∴FG與平面PCD所成角θ的正弦值sinθ=|

1 4 - 1 2

1 16 + 1 16 + 1 4 • 2

|=

3

6

，…（13分）
∴tanθ=

11

11

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的水力計(jì)算的應(yīng)用，直線與平面所成角，二面角的應(yīng)用，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查科空間想象能力以及計(jì)算能力．