Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+c，對(duì)x∈[-1，2]，f（x）單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得不等式3x²+2ax+1≤0，得a≤-

3x2+1

2x

對(duì)任意x∈[-1，2]恒成立，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，從而求出a的值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+c，f′（x）=3x²+2ax+1，
∵f（x）在x∈[-1，2]，f（x）單調(diào)遞減，
∴f′x）≤0對(duì)任意x∈[-1，2]恒成立，
∴3x²+2ax+1≤0，得a≤-

3x2+1

2x

，
對(duì)任意x∈[-1，2]恒成立，
令g（x）=-

3x2+1

2x

，則g′（x）=-

6x2-3x2-1

2x2

=-

3x2-1

2x2

，
令

3x2-1

2x2

=0，可得x=±

3

3

，
x∈[-1，-

3

3

），g′（x）＞0，x∈（-

3

3

，

3

3

），g′（x）＜0，
x∈（

3

3

，2），g′（x）＞0，
所以g（x）的最小值為：g（-1）=2（舍去）或g（

3

3

）=-

3

則a≤-

3

∴a≤-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道中檔題