分析 (1)利用兩角和與差的正弦、余弦公式可化簡(jiǎn)f(x)=sinx•cos(x-π6)+cos2x-12=12sin(2x+π6)+14,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f(x)的最大值及f(x)取最大值x時(shí)的取值集合;
(2)x0∈[π6,π2]⇒2x0+π6∈[π2,7π6],故可求得cos(2x0+π6)=-45,利用兩角差的余弦cos2x0=cos[(2x0+π6)-π6]即可求得cos2x0的值.
解答 解:(1)f(x)=sinx•cos(x-π6)+cos2x-12
=sinx(√32cosx+12sinx)+1+cos2x2-12
=√34sin2x+1−cos2x4+12cos2x
=12sin(2x+π6)+14,
當(dāng)2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6(k∈Z)時(shí),f(x)取得最大值34.
函數(shù)f(x)的最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=kπ+π6(k∈Z)};
(2)若f(x0)=1120,即12sin(2x0+π6)+14=1120,
整理得:sin(2x0+π6)=35,
∵x0∈[π6,π2],
∴2x0+π6∈[π2,7π6],
∴cos(2x0+π6)=-45,
∴cos2x0=cos[(2x0+π6)-π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)si'nπ6=-45×√32+12×35=3−4√310.
點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,突出考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及兩角差的余弦,考查整體思想與化歸意識(shí),屬于中檔題.
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