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16.已知函數(shù)f(x)=sinx•cos(x-π6)+cos2x-12
(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并寫出f(x)取最大值x時(shí)的取值集合;
(2)若f(x0)=1120,x0∈[π6,π2],求cos2x0的值.

分析 (1)利用兩角和與差的正弦、余弦公式可化簡(jiǎn)f(x)=sinx•cos(x-π6)+cos2x-12=12sin(2x+π6)+14,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)f(x)的最大值及f(x)取最大值x時(shí)的取值集合;
(2)x0∈[π6,π2]⇒2x0+π6∈[π27π6],故可求得cos(2x0+π6)=-45,利用兩角差的余弦cos2x0=cos[(2x0+π6)-π6]即可求得cos2x0的值.

解答 解:(1)f(x)=sinx•cos(x-π6)+cos2x-12
=sinx(32cosx+12sinx)+1+cos2x2-12
=34sin2x+1cos2x4+12cos2x
=12sin(2x+π6)+14
當(dāng)2x+π6=2kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6(k∈Z)時(shí),f(x)取得最大值34
函數(shù)f(x)的最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=kπ+π6(k∈Z)};
(2)若f(x0)=1120,即12sin(2x0+π6)+14=1120,
整理得:sin(2x0+π6)=35
∵x0∈[π6,π2],
∴2x0+π6∈[π2,7π6],
∴cos(2x0+π6)=-45
∴cos2x0=cos[(2x0+π6)-π6]=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)si'nπ6=-45×32+12×35=34310

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,突出考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)及兩角差的余弦,考查整體思想與化歸意識(shí),屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.不存在B.橢圓或線段C.線段D.橢圓

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3.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是30,底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的解析式為y=30-2x,(0<x<15)..

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10.如圖,在正四面體ABCD(正四面體是所有棱長(zhǎng)都相等的四面體)中,棱長(zhǎng)為2,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求AECF的值;
(Ⅱ)求二面角A-BC-D的余弦值.

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7.如圖,在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=2,AB=AC.
(1)求證:BE⊥面ABC;
(2)設(shè)△ABC為等邊三角形,求直線CE與平面ABE所成角的正弦值.

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8.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①雙曲線x216y29=1與橢圓x249+y224=1有相同的焦點(diǎn);
②在平面內(nèi),設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),且|PA|+|PB|=k,其中常數(shù)k為正實(shí)數(shù),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
③方程2x2-x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線離心率;
④過(guò)雙曲線x2y22=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線與A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線l有且僅有3條.
其中真命題的序號(hào)為①④.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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