Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx（x∈R），

π

4

是函數(shù)f（x）的一個零點，
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若α、β∈（0，

π

2

），且f（α+

π

4

）=

10

5

，f（β+

3π

4

）=

3 5

5

，求sin（α+β）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用函數(shù)零點的定義列出方程，求出a的值再代入解析式，利用兩角差的正弦公式化簡解析式，再由整體思想和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出f（x）的增區(qū)間；
（2）由（1）和條件分別求出sinα、cosβ，再由角的范圍和平方關系求出cosαsinβ，利用兩角和的正弦公式求出sin（α+β）的值．

解答： 解：（1）因為

π

4

是函數(shù)f（x）的一個零點，
所以sin

π

4

+acos

π

4

=0，解得a=-1，
則f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得，2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

(k∈Z)，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

](k∈Z)；
（2）由（1）得，f(x)=

2

sin(x-

π

4

)，
因為f（α+

π

4

）=

10

5

，f（β+

3π

4

）=

3 5

5

，
所以

2

sinα=

10

5

，

2

sin(β+

π

2

)=

3 5

5

，
化簡得sinα=

5

5

，cosβ=

3 10

10

，
因為α、β∈（0，

π

2

），所以cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
sinβ=

1-cos2β

=

10

10

，
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．

點評：本題考查兩角差與和的正弦公式，平方關系，函數(shù)零點的定義，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，注意角的范圍和三角函數(shù)值的符號，屬于中檔題．