Question

如圖，已知三角形△ABC與△BCD所在平面相互垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，點(diǎn)P，Q分別在線段BD，CD上，沿直線PQ將△PQD向上翻折，使D與A重合．
（Ⅰ）求證：AB⊥CQ；
（Ⅱ）求證P為BD的中點(diǎn)；
（Ⅲ）求直線AP與平面ABC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直來(lái)證明，∵CQ⊥面ABC，∴CQ⊥AB；
（Ⅱ）設(shè)BP=x，在Rt△APO中，AO²+OP²=AP²，得到x的方程求解，進(jìn)而得到結(jié)論；
（Ⅲ）PO⊥面ABC，∴直線AP與平面ABC所成的角就是∠PAO．

解答： 證明：（Ⅰ）∵面ABC⊥面BCQ，又CQ⊥BC，∴CQ⊥面ABC，∴CQ⊥AB
（Ⅱ）作AO⊥BC，垂足為O，則AO⊥面BCQ，連接OP，設(shè)AB=1，則BD=2，設(shè)BP=x，由題意AP=DP=2-x，在△BPO中，
BO=，∠CBP=45°，∴OP^2_=x2₊(

2

2

)2-2×

2

2

×cos45°，在Rt△APO中，AO²+OP²=AP²，于是，(

2

2

)2+^_x2₊(

2

2

)2-2×

2

2

×cos45°=（2-x）²
解得x=1，
故P為BD的中點(diǎn)
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，AO⊥面BCD，P為BD的中點(diǎn)，O為BC的中點(diǎn)，PO⊥面ABC，∴直線AP與平面ABC所成的角就是∠PAO
∠PAO=45°，故直線AP與平面ABC所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面位置關(guān)系，空間距離，線面角，綜合性較強(qiáng)．