Question

已知a、b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且滿(mǎn)足a³-b³=a²-b²，求所有可能的整數(shù)c，使c=9a•b．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意及立方差公式的展開(kāi)形式可得出a²+ab+b²=a+b的值，然后可求出ab與a+b的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式即可得出答案．

解答： 解：∵a³-b³=a²-b²，
∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b）
∵a，b為不相等的兩正數(shù)
∴a²+ab+b²=a+b，
∴（a+b）²-（a+b）=ab，
又0＜ab＜

(a+b)2

4

，
∴0＜（a+b）²-（a+b）＜

(a+b)2

4

，
解得，1＜a+b＜

4

3

，
令t=a+b，則（a+b）²-（a+b）=t²-t．
∵y=t²-t的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)t=

1

2

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
故y=t²-t在（1，

4

3

）上遞增，
故t²-t∈（0，

4

9

），
即ab=（a+b）²-（a+b）∈（0，

4

9

），
∴c=9a•b∈（0，4），
故滿(mǎn)足條件的整數(shù)c∈{1，2，3}

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式、立方公式的應(yīng)用，難度不大，注意掌握立方公式的特點(diǎn)結(jié)合完全平方式是解答本題的關(guān)鍵．